Senin, 03 Oktober 2011

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS


1.      Fungsi dan sifatnya-sifatnya
a.       Pengertian fungsi
Suatu relasi dikatakan sebagai fungsi jika setiap unsur di daerah asal dipasangkan dengan tepat satu unsur di daerah kawan. Missal A dan B masing-masing merupakan himpunan.
Relasi f dari A ke B (f: A  ® B) dikatakan sebagai fungsi jika setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.
b.      Sifat-sifat fungsi
1)      Fungsi injektif (fungsi satu-satu)
Fungsi f dari A ke B merupakan fungsi injektif jika dua unsur berbeda di A dipasangkan dengan tepat satu unsur yang berbeda pula di B.
Dengan kata lain, fungsi f merupakan fungsi injektif jika x1, x2 Î Df dengan x1 ¹ x2  maka f(x1) ¹ f(2) . Df = daerah asal fungsi f.
2)      Fungsi surjektif (fungsi Onto)
Fungsi f dari A ke B merupakan fungsi surjektif jika daerah hasilnya sama dengan daerah kawannya (Rf = B)
3)      Fungsi bijektif (fungsi berkorespondensi satu-satu)
Suatu fungsi dikatakan bijektif jika fungsi tersebut merupakan fungsi injektif sekaligus surjektif.
Contoh
a1  ·
a2  ·
a3  ·
· b1
· b2
· b3
· b4
a1  ·
a2  ·
a3  ·
· b1
· b2
a1  ·
a2  ·
a3  ·
· b1
· b2
· b3
f
f
f
     A                    B                    A                    B                 A                    B





Fung injektif, tetapi bukan                    Fungsi surjektif, tetapi bukan          Fungsi bijektif
surjektif                                                 injektif

2.      Aljabar fugnsi
a.       Operasi Aljabar dua fungsi
Misalkan f dan g merupakan fungsi, berlaku:
a)      Penjumlahan fungsi: (f + g) (x) = f(x) + f(x)
b)      Pengurangan fungsi: (f – g) (x) = f(x) – g(x)
c)      Perkalian fungsi: f . g) (x) = f(x) . g(x)
d)     Pembagian fungsi:  (x) =  , f(x) ¹ 0
b.      Daerah asal fungsi
Diketahui f dan g merupakan fungsi dengan Df = daerah asal f dan Dg = daerah asal g. Daerah asal operasi Aljabar dua fungsi sebagai berikut:
1)      Daerah asal fungsi (f + g) (x):
Df + g = Df Ç Dg
2)      Daerah asal fungsi (f – g) (x)
Df – g = Df Ç Dg
3)      Daerah asal fungsi (f . g) (x)
Df . g = Df Ç Dg
4)      Daerah asal fungsi  (x)
 = Df Ç Dg dengan f(x) ¹ 0

3.      Fungsi Komposisi
a.       Misalkan f dan g merupakan fungsi
Fungsi komposisi f dan g (ditulis f o g) dirumuskan sebagai berikut:
 (f o g) (x) = f(g(x)) f o g dibaca f bundaran g atau f komposisi g
Artinya, mula-mula unsur x Î Dg dipetakan oleh g ke g(x), kemudian g(x) dipetakan oleh f ke f(g(x)). Dengan cara yang sama diperoleh fungsi komposisi berikut:
  (g o f) (x) = g(f(x))
  (g o g o h) (x) = f(x(h(x))
b.      Sifat-sifat komposisi fungsi
1)      Operasi komposisi fungsi pada umumnya tidak komutatif
(f o g) (x) ¹ (g o f) (x)
2)      Operasikan komposisi fungsi bersifat asosiatif
(f o g o h) (x) = (f o (g o h)) (x) = ((f o g) o h) (x)
3)      Dalam operasi komposisi fungsi terdapat sebuah fungsi identitas yaitu |(x) = x, sehingga
(f o |) (x) = (| o f) (x) = f(x)


Pendalaman Materi
Sifat Tidak Komulatif pada Operasi Komposisi Fungsi

Untuk beberapa kasus, bisa saja terjadi (f o g)  (x) = (g o f) (x). Namun, pada umumnya (f o g) (x) ¹          (g o f) (x), jika diberikan fungsi f dan g, Anda dengan mudah dapat menunjukkan sifat (f o g) (x) ¹ (g o f) (x) setelah membandingkan hasil f o g) (x) dan hasil (g o f) (x)
Sebagai gambaran sifat tersebut, lengkapi diagram panah yang menunjukkan (f o g) (x) dan (g o f) (x) berikut. Diketahui f(x) = x + 2 dan g(x) = 7 – x.
Jika x = {1, 2, 3, 4}, tentukan:
a.       (f o g (x)                b.  (g o f) (x)


Contoh Soal

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar